To vary slightly a striking metaphor coined by E. T. Bell, the rational numbers are spotted along the real line like stars against a black sky, and the dense blackness of the background is the firmament of the irrationals.
Introduction to Topology and Modern Analysis - George F. Simmons
Encontrei essa citação essa semana e a adorei porque ela reúne em uma só imagem duas coisas que eu gosto muito, matemática e astronomia. E os significados dessa metáfora são bem profundos, por ambos os lados, acho que posso tentar escrever sobre isso.
Primeiro, à matemática!
A primeira coisa que você precisa saber para entender a relação entre os números racionais e os números reais é que existem diversos tipos de infinitos, dizemos que dois conjuntos possuem a mesma cardinalidade (o mesmo "número de elementos") se existe uma função bijetora entre eles, isto é, se existe uma função que associa cada elemento de um conjunto a um elemento do outro. (Encontrei um texto bom sobre infinitos aqui.)
O infinito mais simples é o infinito enumerável, que pode ser, literalmente, contado (isto é, posto em bijeção com os números naturais), não é óbvio, mas os números racionais podem ser enumerados, o truque é contá-los em zigue-zague, como a figura seguinte sugere, incluir os negativos e pular as ocorrências repetidas (como 2 = 4/2), você obterá uma sequência assim: {0, 1, -1, 2, -2, 1/2, -1/2, , 1/3, -1/3, 2/3, -2/3, ...}. (Existe uma outra forma bem bonita de enumerar os racionais, mais detalhes no livro Proofs from the BOOK, trecho aqui.)
O próximo passo é descobrir que os números reais não podem ser enumerados, e portanto pertencem à um infinito "maior", isto geralmente é mostrado pelo argumento de diagonalização de Cantor.
Por fim, há o fato dos racionais cobrirem a reta dos números reais de forma densa, isto é, apesar de existirem infinitamente menos racionais do que reais, os números racionais estão espalhados por toda a reta e todo número real pode ser aproximado por um número racional. (Sobre isso, achei um post muito bom em outro blog, aqui.)
Agora, à astronomia:
Por esse lado, essa frase me faz lembrar a história do paradoxo de Olbers, proposto no século XIX, no contexto do avanço das observações astronômicas e perguntas sobre a natureza do universo. Questiona que se o universo é infinito com as estrelas distribuídas uniformemente no espaço, o céu deveria ser tão claro quanto a superfície de uma estrela. Atualmente, esse paradoxo se resolve com considerações adicionais sobre a distribuição das estrelas no espaço (existência de galáxias e grandes vazios), a idade do universo, expansão e propagação da luz.
ATUALIZAÇÂO(18/07/14): Encontrei um vídeo muito bom sobre o tema!
Em todo caso, voltando à metáfora, podemos nos apegar à imagem de que o número de estrelas no céu é enumerável, mas a escuridão do céu não... :P
O próximo passo é descobrir que os números reais não podem ser enumerados, e portanto pertencem à um infinito "maior", isto geralmente é mostrado pelo argumento de diagonalização de Cantor.
Por fim, há o fato dos racionais cobrirem a reta dos números reais de forma densa, isto é, apesar de existirem infinitamente menos racionais do que reais, os números racionais estão espalhados por toda a reta e todo número real pode ser aproximado por um número racional. (Sobre isso, achei um post muito bom em outro blog, aqui.)
Agora, à astronomia:
Por esse lado, essa frase me faz lembrar a história do paradoxo de Olbers, proposto no século XIX, no contexto do avanço das observações astronômicas e perguntas sobre a natureza do universo. Questiona que se o universo é infinito com as estrelas distribuídas uniformemente no espaço, o céu deveria ser tão claro quanto a superfície de uma estrela. Atualmente, esse paradoxo se resolve com considerações adicionais sobre a distribuição das estrelas no espaço (existência de galáxias e grandes vazios), a idade do universo, expansão e propagação da luz.ATUALIZAÇÂO(18/07/14): Encontrei um vídeo muito bom sobre o tema!
Em todo caso, voltando à metáfora, podemos nos apegar à imagem de que o número de estrelas no céu é enumerável, mas a escuridão do céu não... :P
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